Differentiële topologie is de topologie die differentiële variëteiten en differentieerbare kaarten bestudeert. Met de vooruitgang van de algebraïsche topologie en differentiaalmeetkunde kwam het opnieuw op in de jaren dertig. H. Whitney gaf in 1935 een algemene definitie van differentiële spruitstuk en bewees dat het altijd kan worden ingebed in hoogdimensionale Euclidische ruimte. Om het vectorveld op het differentiële spruitstuk te bestuderen, stelde hij ook het concept van vezelbundels voor, zodat veel geometrische problemen verband houden met homologie (indicatieve klasse) en homotopieproblemen.
In 1953 creëerde de theorie van collocatie van René Thom' een situatie waarin differentiële topologie en algebraïsche topologie naast elkaar vorderden. Veel moeilijke differentiële topologieproblemen werden omgevormd tot algebraïsche topologieproblemen en opgelost, wat ook de algebraïsche topologie stimuleerde. Verdere ontwikkeling. In 1956 ontdekte Milno dat er naast de gebruikelijke differentiaalstructuur op de zevendimensionale bol ook een ongebruikelijke differentiaalstructuur bestond. Vervolgens werden de spruitstukken waaraan geen differentiële structuur kan worden toegekend, door mensen geconstrueerd. Deze laten allemaal zien dat de drie categorieën van topologische spruitstukken, differentiële spruitstukken en stuksgewijze lineaire spruitstukken daartussen een enorm verschil hebben, differentiële topologie is sindsdien erkend als een onafhankelijke tak van de topologie. In 1960 bewees Smail het vermoeden van Poincaré voor differentiële spruitstukken met meer dan vijf dimensies. JW Milno et al. een basismethode ontwikkeld om met differentiële variëteiten ─ ─ 剜 讓 擜 om te gaan, zodat de classificatie van variëteiten met meer dan vijf dimensies geleidelijk algebraïsch is geworden.
De prominente gebieden zijn de relatie tussen de bovengenoemde drie categorieën van spruitstukken en de classificatie van driedimensionale en vierdimensionale spruitstukken. De belangrijkste prestaties in het begin van de jaren tachtig waren onder meer het bewijs van het vierdimensionale vermoeden van Poincaré en de ontdekking van de ongebruikelijke differentiële structuur in de vierdimensionale Euclidische ruimte. Dit soort onderzoek wordt over het algemeen geometrische topologie genoemd om de geometrische kleur te benadrukken, die verschilt van de algebraïsche homotopietheorie.